Descobrindo o Mundo Matemático

Ângulos opostos pela vértice

Observe os �ângulos A�B e C�D na figura abaixo:

Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os �ângulos A�B e C�D s�ão opostos pelo vé�rtice (o.p.v). Assim:

Dois â�ngulos sã�o opostos pelo vé�rtice quando os lados de um deles sã�o semi-retas opostas aos lados do outro. Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

X + Y = 180� (ângulos adjacentes suplementares)

X + K = 180� (â�ngulos adjacentes suplementares)

Ent�ão

Logo: y = k

Assim:

m (A�B) = m (C�D) A�B C�D

m (A�D) = m (C�B) A�D C�B

Dada� a propriedade:

Dois �ângulos opostos pelo vé�rtice s�ão congruentes.

Observe uma aplica��ção dessa propriedade na resoluçã��o de um problema:

Dois �ângulos opostos pelo vé�rtice t�em medidas, em graus, expressas por x + 60� e 3x - 40�. Qual � o valor de x?

Soluçã��o:

x + 60� = 3x - 40� �ângulos o.p.v

x - 3x = - 40� - 60�

-2x = - 100�

x = 50�

Logo, o valor de x �é 50�.

Exercícios resolvidos:

1. Vamos determinar os valores de a nas figuras seguintes:

a + 20º = 180º
a = 180º - 20º
a = 160º

São ângulos suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180º.

2. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.

3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.

3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º

m + 10º e n, são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º.

(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º

Resposta: m = 11º e n = 159º

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Angulos Complementares, Angulos Suplementares e Angulos Adjacentes

Podemos determinar ângulo como a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem que recebem o nome de lados do ângulo e a origem é denominada vértice. Observe:

Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, um é complemento do outro.

Na ilustração temos que: α + β = 90º ou α = 90º – β e ainda β = 90º – α Ângulos suplementares são dois ângulos que somados são iguais a 180º, um é suplemento do outro.

Na ilustração temos que: α + β = 180º ou α = 180º – β e ainda β = 180º – α Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum. Observe a ilustração:

Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB em comum, mas suas regiões determinadas não possuem pontos em comum. Os ângulos AÔC e AÔB não são adjacentes, embora possuam um lado em comum, suas regiões determinadas possuem pontos em comum. A região AÔB pertence à região AÔC.

Ângulos adjacentes e suplementares

De acordo com a ilustração acima, os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB e suas áreas determinadas não possuem duplicidade de pontos. São suplementares, pois a soma dos ângulos α e β totalizam 180º.

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Ângulos

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”. Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos). O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).

Classificação de ângulos

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: Agudo: ângulo com medida menor que 90º. Reto: ângulo com medida igual a 90º. Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

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Ponto, reta e plano

Ponto = Não tem definição. É uma representação da nossa imaginação.

Reta = É a junção de vários pontos. Não tem origem nem fim.

Plano = É algo imaginário que serve para situar.

Semireta = Tem origem mas não tem fim.

Retas Paralelas = São retas que não têm ponto de intercessão.

Retas Concorrentes = São retas que se cruzam e têm um ponto em comum.

Retas Coincidentes = São retas que se coincidem, uma fica sob a outra.

Ponto Médio = É um ponto que divide um segmento de reta ou uma semireta ao meio.

Aplicabilidade:

Ponto = uma bola de papel

Seg. Reta = uma régua

Plano = o chão

R. Paralelas = comprim. de uma porta de residência

R. Concorrentes = uma tesoura

R. Coincidentes = um piso

Ponto Médio = uma trena

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Equações Fracionárias

As equações fracionárias algébricas são aquelas que possuem variáveis em seu denominador. Nesse tipo de equação precisamos dar atenção às restrições que a variável pode assumir, pois dependendo do valor da variável o número zero pode aparecer no denominador, e na Matemática não existe divisão por zero. Observe:

Exemplo 1

Concluímos que na equação, x deve ser diferente de zero.

Exemplo 2

Na equação dada, devemos ter x ≠ -1/2 e x ≠ 1

Exemplo 3

Temos três restrições para a variável x na equação do exemplo 3, x ≠ -3, x ≠ 4 e x ≠ 0.

Exemplo 4

Temos x ≠ -7, x ≠ -1 e x ≠ 1

Não esqueça! Para aprender ''frações algébricas'', você precisa saber:

Polinômios e monômios, fator comum em evidência, diferença de dois quadrados, agrupamento, trinômio do quadrado perfeito, simplificação de frações algébricas, operações com frações algébricas.

Exemplo de Aplicabilidade: Um exemplo pode ser o do vendedor que ganha um fixo e mais uma comissão por venda.

Se o fixo mensal for R$ 800 e a comissão for de 2% sobre o valor total vendido, então o salário dele é uma função do primeiro grau.

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Multiplicação e Divisão com Frações Algébricas

Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas. Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.

Exemplos:

Não esqueça! Para aprender ''frações algébricas'', você precisa saber:

Polinômios e monômios, fator comum em evidência, diferença de dois quadrados, agrupamento, trinômio do quadrado perfeito, simplificação de frações algébricas, operações com frações.

Exemplo de Aplicabilidade: As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.

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Adição e Subtração de Frações Algébricas

Os números na forma de fração pertencem ao conjunto dos números racionais e são utilizados na representação das partes de um inteiro. Entre as frações, podemos efetuar todas as operações básicas, como adicionar, subtrair, multiplicar, dividir, potencializar e aplicar a raiz quadrada.

Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e em seguida, somar ou subtrair os numeradores.

Ex:

Convém lembrar dos jogos de sinais.

Na expressão

( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3

Ex.: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z

ou
2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z

Exemplos:

Não esqueça! Para resolver '''Adição e Subtração de Frações Algébricas'', você/

Fator comum em evidência, diferença de dois quadrados, agrupamento, trinômio do quadrado perfeito, mmc polinômios, simpl. frações algébricas.

Exemplo de Aplicabilidade: Em física também, bastando lembrar que no lançamento de um projétil, a trajetória é uma parábola do segundo grau, que é um polinômio do segundo grau (y=a.x^2+b.x+c).

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