Diagonais de um polígono

Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.

Cálculo do número de diagonais de um polígono

A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "P" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte:

P = {n(n-3)\over 2}

É necessário salientar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.

Desenvolvendo a fórmula do cálculo do número de diagonais de um polígono

Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono.

Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior:

Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A.

P = n − 3

Onde 'n' é o número de vértices do polígono.

Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: P = 4 − 3 portanto, para o vértice A uma só diagonal.

Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja:

P = n(n − 3)

P = 4(4 − 3) = 4

Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então:

P = {n(n-3)\over 2}

ou ainda:

P = {n^2-3n\over 2}

Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes.

Não esqueça! Para aprender ''diagonais de um polígono'', você precisa saber:

Polígonos
Lados e vértices dos polígonos


Exemplo de Aplicabilidade: Os esquadros.

Exercício

Num polígono regular, a diferença entre a medida de um ângulo interno e a de um ângulo externo é 90º. Quantas diagonais tem o polígono?

i = angulo interno
e = angulo externo
n = número de lados do poligono
d = número de diagonais

i + e = 180
i - e = 90

2i = 270
i = 135

Então este polígono regular possui angulos internos que valem 135º

Vamos calcular agora o número de lados deste polígono.
i = ( n-2 ) . 180 / n
135 = ( n-2 ) . 180 / n
135n = 180n - 360
45n = 360
n = 8

Este polígono possui 8 lados.
Agora vamos calcular o número de diagonais

d = (n-3) . n / 2
d = ( 8-3) . 8/2
d = 5.4

d = 20

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1 comentários:

Felipe Cassiemiro disse...

gostei muito desse blog




Valeu!!!!

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C.E.S.
Alunas: Tacila Santos e Ariana Costa
Professor: Luciano Reis
Série: 7ª Série (8º Ano)
Disciplina: Matemática

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